Matematika sa niekedy mení nie novými dôkazmi, ale novým jazykom. Presne to sa teraz deje v práci Petra Scholzeho a Dustina Clausenа, ktorí sa pokúšajú nahradiť jeden z najzákladnejších pojmov topológie a tým zmeniť spôsob, akým sa dá premýšľať o číslach, štruktúrach a vzťahoch medzi nimi.
Two Researchers Are Rebuilding Mathematics From the Ground Up.
Ich program vychádza z myšlienky, že klasické topologické priestory sú pre veľkú časť modernej matematiky nepraktické, najmä tam, kde sa pracuje s algebrou. Namiesto nich zavádzajú kondenzované množiny, nový typ matematických objektov, ktoré majú podľa autorov zachovať to najlepšie z topologických priestorov, no bez ich nevýhod. V článku Quanta Magazine sa tento posun opisuje ako pokus postaviť matematiku na jemnejšom a pružnejšom základe.
Pre odborníkov je to dôležité aj preto, že nejde len o technickú úpravu jedného nástroja. Ak sa nový rámec osvedčí, môže zjednodušiť celé oblasti matematiky a prepojiť topológiu, teóriu kategórií, algebru a ďalšie disciplíny. Scholze však zároveň upozorňuje, že zatiaľ nie je isté, ako široko sa tieto pojmy ujmú. Sám ich vníma ako prvý krok k oveľa väčšiemu programu, ktorého cieľom je lepšie pochopiť, prečo sa čísla správajú tak, ako sa správajú.
Prečo boli topologické priestory tak dlho základom
Topologické priestory vznikli pred viac ako storočím ako spôsob, ako presne zachytiť predstavu blízkosti, spojitosti a tvaru bez toho, aby bolo potrebné pracovať s presnými vzdialenosťami.
V bežnom vysvetlení sa topológia spája s predstavou, že z donutového tvaru možno „spraviť“ šálku, ak sa objekt len naťahuje alebo stláča bez trhania. V skutočnosti však ide o oveľa presnejší jazyk, ktorý umožňuje matematicky opísať, čo sa v priestore zachováva a čo nie.
Takýto prístup sa stal jedným z pilierov modernej matematiky. Ako pripomína aj historický vývoj v texte, topologické myšlienky sa objavovali už od Eulerovho riešenia problému siedmich mostov v Königsbergu a neskôr sa rozvíjali cez prácu Möbiusa, Riemanna, Poincarého a ďalších. Kľúčový zlom však prišiel až vtedy, keď Felix Hausdorff v roku 1914 opísal topologické priestory v dnešnom zmysle.
Scholze a Clausen sa snažia nahradiť topologické priestory novou kategóriou objektov nazvanou condensed sets.
Snímka zobrazuje: Peter Scholze prefers coming up with new definitions rather than coming up with new proofs. As he put it, he’s “trying to give names to what is.
Podľa zdroja pripomínajú akési mimoriadne jemné „prachové“ štruktúry, ktoré si zachovávajú užitočné vlastnosti topológie, no odstraňujú niektoré jej slabiny. Vďaka tomu sa podľa citovaných matematikov stáva časť matematiky jednoduchšou.
Dôležité je, že nejde o kozmetickú zmenu terminológie. V matematike často platí, že nový pojem môže odhaliť súvislosti, ktoré boli predtým skryté. Presne na to naráža aj Scholze, keď hovorí, že sa snaží „dávať mená tomu, čo už existuje“. V takomto duchu sa nové definície nestavajú len ako náhrada starých, ale ako presnejší spôsob, ako vidieť už známe problémy.
Prečo na tom záleží aj mimo úzkej teórie
V širšom zmysle je tento vývoj zaujímavý preto, že matematika sa často posúva vtedy, keď sa zmení jej základný jazyk.
Snímka zobrazuje: Dustin Clausen, along with Scholze, has spent the past decade developing a new mathematical framework. Their “condensed mathematics” is already.
Nové definície môžu zjednodušiť dôkazy, odhaliť prepojenia medzi odvetviami a niekedy aj preformulovať staré problémy tak, aby sa dali riešiť inak. To je aj dôvod, prečo sa v texte hovorí, že „celá sada matematiky sa stala jednoduchšou“.
Takéto zmeny však nebývajú okamžite prijaté. Nový rámec býva náročný na učenie a jeho praktický dosah sa ukáže až časom. Aj preto je Scholze opatrný v odhadoch, ako široko sa kondenzované množiny rozšíria. V matematike totiž nie je nezvyčajné, že veľmi silná myšlienka najprv slúži len malej skupine odborníkov, kým sa ukáže jej skutočná hodnota.
Ako matematika mení vlastné nástroje
V dejinách matematiky sa opakovane ukázalo, že nové nástroje menia aj to, čo je vôbec viditeľné.
Snímka zobrazuje: Clark Barwick, along with his graduate student Peter Haine, independently defined “pyknotic sets,” objects that are very similar to condensed sets.
Keď sa zavedie presnejší jazyk, niektoré staré problémy zrazu vyzerajú jednoduchšie a niektoré nové sa objavia až potom. To je jeden z dôvodov, prečo sa v matematike tak často hovorí o definíciách ako o objavoch, nie len o pomocných formuláciách.
V prípade topológie to bolo obzvlášť výrazné. Hausdorffove otvorené množiny poskytli presný spôsob, ako hovoriť o štruktúre priestoru bez odkazu na vzdialenosť. Podobne dnes môžu kondenzované množiny ponúknuť presnejší rámec tam, kde klasické topologické priestory narážajú na limity. Ide teda o typický príklad toho, ako sa matematika neustále prepisuje zvnútra.
Čo zostáva otvorené
Zatiaľ nie je jasné, ako ďaleko sa tento program dostane.
Snímka zobrazuje: Bhargav Bhatt, along with Scholze, defined the objects that would later become known as condensed sets years before anyone realized their enormous.
Zdroj výslovne hovorí, že nové pojmy sú silné, ale zložité a ťažké na učenie. Nie je preto isté, či sa stanú bežnou súčasťou matematiky v širokom meradle, alebo zostanú najmä nástrojom pre špecifické oblasti.
Isté je len to, že Scholze a Clausen otvorili smer, ktorý sa nesnaží len opravovať existujúce dôkazy, ale prebudovať samotný základ. V matematike je to vždy odvážny krok. Ak sa však ukáže, že nový jazyk naozaj lepšie vystihuje vzťahy medzi topológiou, algebrou a ďalšími oblasťami, môže ísť o jednu z tých zmien, ktoré sa spätne javia ako samozrejmé — hoci ich začiatok bol veľmi neobvyklý.
Na poskytovanie tých najlepších skúseností používame technológie, ako sú súbory cookie na ukladanie a/alebo prístup k informáciám o zariadení. Súhlas s týmito technológiami nám umožní spracovávať údaje, ako je správanie pri prehliadaní alebo jedinečné ID na tejto stránke. Nesúhlas alebo odvolanie súhlasu môže nepriaznivo ovplyvniť určité vlastnosti a funkcie.
Funkčné
Vždy aktívny
Technické uloženie alebo prístup sú nevyhnutne potrebné na legitímny účel umožnenia použitia konkrétnej služby, ktorú si účastník alebo používateľ výslovne vyžiadal, alebo na jediný účel vykonania prenosu komunikácie cez elektronickú komunikačnú sieť.
Predvoľby
Technické uloženie alebo prístup je potrebný na legitímny účel ukladania preferencií, ktoré si účastník alebo používateľ nepožaduje.
Štatistiky
Technické úložisko alebo prístup, ktorý sa používa výlučne na štatistické účely.Technické úložisko alebo prístup, ktorý sa používa výlučne na anonymné štatistické účely. Bez predvolania, dobrovoľného plnenia zo strany vášho poskytovateľa internetových služieb alebo dodatočných záznamov od tretej strany, informácie uložené alebo získané len na tento účel sa zvyčajne nedajú použiť na vašu identifikáciu.
Marketing
Technické úložisko alebo prístup sú potrebné na vytvorenie používateľských profilov na odosielanie reklamy alebo sledovanie používateľa na webovej stránke alebo na viacerých webových stránkach na podobné marketingové účely.
